Logarithmische Spiralen


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Geschrieben von Gabi am 20. April 2006 18:57:06:

Die allgemeine logarithmische Spirale kann man berechnen mit

Radius = (Basis)^(Phasenwinkel / b)

mit Phasenwinkel vom 0 bis k*2Pi für k Umläufe

Ist z.B. die Basis gleich e, dann kann man mit
b1=9.064720283654388
Spiralen herstellen, deren Radius sich von Umlauf zu Umlauf verdoppelt (Faktor=2).

Der Faktor ist immer konstant, von Umlauf zu Umlauf derselbe.

Für die Basis gleich 2, muss
b2=2Pi genommen werden, um die gleiche Spirale zu erzeugen.

Für die Basis gleich 1.6180339.. muss analog
b3=4.362050591352134 eingesetzt werden, um Radienverdopplung zu erreichen.

Die Umrechnungen der einzelnen b erfolgen über
b1 = b2 * ln(Basis1) / ln(Basis2)

Berechnung b aus Faktor:
b = 2Pi * ln(Basis) / ln(Faktor)

Berechnung Faktor aus b:
Faktor = F = (Basis)^(2Pi / b)

Die Spiralenlänge ist analytisch zu ermitteln über:

editiert am 24.4.06:
----------------------------
L = L1*(R-1) / (F-1)

mit R=End-Radius nach k Umläufen (k rational)
siehe script
http://www.torkado.de/progs/scripte/spirale_laenge.htm
----------------------------

oder für k = ganze Zahl:
L = L1 * (Sum(F^n) für n=0 bis (k-1)),
z.B. 5 Umläufe L5=L1*(1+F+F^2+F^3+F^4), mit F=Faktor=R(i)/R(i-1)

Länge für ersten Umlauf:
L1 = b * (Faktor-1) / ln(Basis)
L1 = 2Pi * (Faktor-1) / ln(Faktor)

Besonders auf die Gleichungen für L1 und L bin ich sehr stolz, weil die nicht so einfach mit normalen mathematischen Umformungen zu finden ist. Da stecken einige Tage Arbeit drin.

Alle Größen an Spiralen können also jetzt analytisch berechnet werden, ohne iterativ nachzuhelfen.

MfG
Gabi




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