Re: Winkel für Perihelpunkt jedes Planeten genau

[ Zauberspiegel Wissenschaft Ideenfabrik ]

Geschrieben von Mark Tempe am 28. März 2005 17:45:14:

Als Antwort auf: Re: Winkel für Perihelpunkt jedes Planeten genau geschrieben von Gabi am 27. März 2005 13:19:30:

>>ad Applet ohne Plus1) Die Formeln lauten demnach:
>>Fi = (sqrt(5)+1)/2=1.618034...
>>a = -1/4
>>b = 2 * Pi * ln(Fi)/ln(2) = 4.36205
>Danke für die tolle Idee, das b aus der Gleichsetzung von
>2^(phi/(2Pi)) = Fi^(phi/b)
>auszurechnen.
>Habe das endlich auch mal für
>2^(phi/(2Pi)) = e^(phi/b1)
>gemacht und
>b1=2Pi/ln2=9,0647202836543
>bekommen.
>Ist mir überhaupt nicht eingefallen, eine analytische Herleitung zu suchen, weil ich es numerisch-iterativ gefunden hatte (das b auch).
>Vielen Dank !
>So gefällt mir das ! Da hat das Forum wirklich praktischen Wert. Im gegenseitigen Austausch geht es besser voran. Man ist manchmal wie vernagelt.

So funktioniert das genau:
r=a * Fi^(phi/b) ... Ausgangsradius
R=a * Fi^((phi + 2Pi)/b) ... Radius eine Umdrehung später (phi+2Pi)

Alle Zahlen sind reell, Fi zusätzlich grösser Null, eigentlich muss auch a grösser oder gleich Null sein, da in der Polardarstellung Radien kleiner Null nicht erlaubt sind. Die Interpretation, dass negative Radien einer Drehung um Pi (180 Grad) entsprechen, ist mathematisch eigentlich falsch und basiert auf der Umrechnung der Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten:

x = r * cos(phi)
y = r * sin(phi)

Wechselt man das Vorzeichen von r ergibt sich:

x = -r * cos(phi)
y = -r * sin(phi)

was zufällig ident ist mit

x = r * cos(phi + Pi)
y = r * sin(phi + Pi)

Gesucht: b so dass R = 2 * r erfüllt ist, d.h.,

R=a * Fi^((phi + 2Pi)/b) = 2 * r = 2 * a * Fi^(phi/b)

Fi^((phi + 2Pi)/b) = 2 * Fi^(phi/b) logarithmieren ergibt

((phi + 2Pi)/b) * ln(Fi) = ln(2) + (phi/b) * ln(Fi)

2Pi/b * ln(Fi) = ln(2)

b = 2Pi * ln(Fi)/ln(2)

>>Was ich meine ist: wie hast Du die Winkel der Schnittpunkte der beiden Spiralen (1) und (2) ermittelt? Die sind nämlich analytisch berechenbar. Zwei aufeinanderfolgende Schnittpunkte haben immer einen Abstand von:
>>Delta phi = Pi * (1+b)/b = 3.8618
>>oder in Grad:
>>Delta phi = 221.265 Grad oder wenn man 360 Grad abzieht: -138.735 Grad
>Wieder Klasse von Dir ! Ist mir gar nicht eingefallen, habe mir die analytische Lösung nicht zugetraut, habe es nie versucht.
>Und ehrlich gesagt - so ad hoc -, fehlt mir immernoch Dein Ansatz ? Willst Du ihn mir/uns verraten ? Ich kann Dich später auch gern zitieren, falls ich je erfahre, wer Du bist.

Hier der Ansatz:
r1=a * Fi^(phi/k1) ... Spirale 1; k1=1+b; phi von 0 bis 12*2Pi
r2=a * Fi^(phi/k2) ... Spirale 2; k2=1-b; phi von 0 bis -12*2Pi

An den Schnittpunkten muss für beide Spiralen phi und r identisch sein. Das Problem an der Sache ist, dass phi eine 2Pi-periodisch ist und nicht linear:

phi = phi + 2 * n * Pi; n eine ganze Zahl

Berücksichtig man das, so erhält man folgende Gleichung für die Schnittpunkte:

r1 = r2

a * Fi^(phi/k1) = a * Fi^((phi + 2 * n * Pi)/k2)

und daraus weiter für phi:

phi/k1 = (phi + 2 * n * Pi)/k2

phi/k1 - phi/k2 = 2 * n * Pi/k2

phi = 2 * n * Pi/(k2/k1 - 1)

mit k1=1+b; k2=1-b

phi = -n * Pi * (1+b)/b

da n eine beliebige ganze Zahl ist, kann man n auch durch -n ersetzten

phi = n * Pi * (1+b)/b

oder unter Einbeziehung der 2Pi-Periodizität:

phi = n * Pi * (1+b)/b + m * 2Pi; m,n beliebige ganze Zahlen.

Damit kann zu jedem n ein m gefunden werden, sodass z.B. -Pi <= phi < Pi ist.

Bemerkenswert ist, dass die Winkel der Schnittpunkte nicht von a oder Fi abhängen sondern nur von k1 und k2 bzw. mit k1=1+b; k2=1-b nur von b.

>>Unser höheres Wesen ist demnach ein Kleingeist und Scherzkeks?
>Was ist klein an der Lebensfreude ? Als Kind kannten wir sie alle noch.
>Warum kichert wohl der Dalai Lama so oft ? Solche wie der verstehen mehr über die Realität als alle Hochschulprofs zusammen. Bist Du ein freud- und lustloser Griesgram ? Das wäre traurig .

Ich halte mich nicht für einen freud- und lustlosen Griesgram. Aber wenn ein, aus unserer Sicht, allmächtiges Wesen, seine Allmacht nicht besser zu nutzen weiss, als auf unsere (den, von ihm/ihr absolut abhängigen) Kosten Witze zu reissen, dann nenne ich das einen Kleingeist.

Mark


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