Re: Beweis Kugelexperiment Würth

[ Zauberspiegel Wissenschaft Ideenfabrik ]

Geschrieben von MrStupid am 06. Dezember 2004 15:30:33:

Als Antwort auf: Re: Beweis Kugelexperiment Würth geschrieben von Gabi am 06. Dezember 2004 13:38:12:

>Wenn man das Abbremsen steiler gestaltet als das Beschleunigen, könnte man den Vorsprung in Höhe umwandeln, und durch einen zusätzlichen Hügel (Überschwingen) evtuelle Geschwindigkeitsverluste wieder aufholen lassen.

Ich widerhole es gern noch einmal: Das ist Unsinn. Um die Kugel anzuheben wird Energie benötigt. Der Vorsprung bringt dabei rein gar nichts. Die Energiebilanz läßt sich schon mit Grundschulphysik beschreiben. Dabei sind bei Berücksichtigung der Reibung nur drei Formen von Energie zu unterscheiden:

1. die potentielle Energie Epot = m·g·h
2. die kinetische Energie der Translation Etrans = m·v2/2 und
3. die kinetische Energie der Rotation Erot = m·v2/5

Die Summe dieser Energien bleibt während des gesamten Kugelexperimentes konstant. Wenn die Kugeln also zu Beginn des Versuches in der Höhe h0 ruhen, dann gilt auf der gesamten Bahn

v2 = g·(h0-h)·10/7

Es ist leicht zu erkennen, daß da keine Vorsprünge auftauchen. Die Geschwindigkeit v der Kugeln hängt neben der Ausgangshöhe h0 ausschließlich von der Höhe h ab, in der sie sich gerade befindet und ist vollkommen unabhängig davon, auf welchem Wege und in welcher Zeit sie diese Höhe erreicht hat.

>Es geht hier um einen noch unbekannten Erhaltungssatz im Bereich der Beschleunigung (v^3), der mit der Wirkung zusammenhängt.

Wie ich oben gezeigt habe, genügt allein die Energieerhaltung um zu zeigen, daß da kein Blumentopf zu gewinnen ist. Weitere Erhaltungssätze (egal ob bekannt oder unbekannt) sind hier nicht notwendig.

Etwas schwieriger wird natürlich die Berechung des Zeitgewinns. Ich führe das mal für den zweidimensionalen Fall vor:
Wenn die Schiene entlang der X-Achse aufgebaut ist, dann gilt für das Quadrat v2 der Tangentialgeschwindigkeit einer darauf rollenden Kugel

v2 = [dh/dt]2 + [dx/dt]2

wegen [dh/dt]=[dh/dx]·[dx/dt] folgt daraus für die X-Komponente vx=[dx/dt] der Geschwindigkeit

vx2 = v2/(1+h'2)

wobei h'=[dh/dx] die Steigung der Bahn in Richtung der X-Achse ist.

Wenn ich nun für v2 die Gleichung einsetze, die ich oben aus der Energieerhaltung hergeleitet habe, und dann 1/vx über x integriere, erhalte ich die Zeit, die die Kugel für diese Strecke benötigt:

t = ∫√{0,7·[1+h'(x)2]/[h0-h(x)]/g}dx

und die hängt ganz im Gegensatz zur Endgeschwindigkeit tatsächlich vom zurückgelegten Weg ab und wird um so kleiner, je weiter die Kugel bei kleinen Steigungen |h'| in geringer Höhe h rollt. Daraus ergibt sich der Vorsprung für die Kugel, die den Umweg durch die Senke macht, was sich durch Lösung des obigen Integrals für ein entsprechendes Bahnprofil h(x) auch quantitativ berechnen läßt. Die Idee, daß aus diesem Zeitgewinn auch irgend ein Energiegewinn erwachsen kann ist dagegen vollkommen abwegig. Im Gegenteil: Der Vorsprung resultiert sogar aus der Energieerhaltung.


Antworten:

[ Zauberspiegel Wissenschaft Ideenfabrik ]