Antwort aus einem Mathe-Forum
Geschrieben von Gabi am 27. Dezember 2002 11:13:55:
Als Antwort auf: Re: Stehauf-Männchen Phi geschrieben von Gabi am 25. Dezember 2002 12:08:16:
Google Newsgroup de.sci.mathematik
Thread "Goldener Schnitt stellt Rätsel"Hallo,
wenn man die Iteration
x=1/x+1
öfter ausführt, kommt man schnell zu phi=1.6180339...=(sqrt(5)+1)/2
Natürlich bleibt die Lösung wie sie ist, wenn man gleich x(0)=phi setzt.Stelle ich die Gleichung um auf
1/x=x-1 und setze g=1/x
g=1/g-1und beginne mit g=1/phi=phi-1=0.6180339.. ,
verhält sich die Gleichung erstmal divergent und landet am Ende bei -phi.
Siehe Iterationenliste
http://www.aladin24.de/htm/inversPlus1.htmDas Ganze habe ich in einer Grafik veranschaulicht
http://www.aladin24.de/htm/images/phi_g.gifWieso bleibt g=1/g-1 mit g(0)=1/phi
nicht ebenso stehen wie x=1/x+1 mit x(0)=phi?MfG
Gabi~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
"Jutta Gut" (gut.jutta.gerhard@chello.at) wrote
Hallo Gabi!Mit deinem Iterationsverfahren suchst du den Fixwert der Funktion x -> 1/x +
1. Das konvergiert gegen phi, weil bei diesem Fixwert gilt: |f'(x)| < 1.Bei der zweiten Iteration verwendest du die Funktion x -> 1/x - 1. Die hat
zwar einen Fixwert bei 1/phi, aber dort ist |f'(x)| > 1. Daher divergiert
das Verfahren zuerst und konvergiert dann gegen den anderen Fixwert -phi.Gruß
Jutta~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Hallo Jutta,
Wenn man sich die Tangenten ansieht bei x=1.618 und x=0.618, sieht
man, daß das stimmt.
Aber wieso divergiert eine Funktion mit |f'(x)| > 1 ?MfG
Gabi~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
"Jutta Gut" (gut.jutta.gerhard@chello.at) wrote
Hallo Gabi!
Das ist ein Satz aus der Analysis, von dem ich nicht mehr weiß, wie er
heißt.
Das Verfahren nennt sich "Fixpunktiteration". Du kannst es dir graphisch
veranschaulichen, indem du den Funktionsgraphen und die 1. Mediane
aufzeichnest. Du gehst von einem Näherungswert x_0 aus, zeichnest eine
Senkrechte zum Graphen (f(x_0)), von dort eine Waagrechte zur 1. Mediane
(x_1 = f(x_0)) u.s.w. Dabei entsteht eine Treppe oder eine Art Spinnennetz.
Wenn im Fixpunkt |f'(x)| < 1 ist, zieht sich die Treppe oder das Netz auf
einen Punkt zusammen, andernfalls wird es immer größer.Ein paar Abbildungen dazu findest du auf
http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/mathA/lst7/teaching/download/nmi_02/folien_kap3_2p.pdfGrüße
Jutta~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
"Thomas Nordhaus" ( thnord2002@yahoo.de ) wroteHallo, ich heiße zwar nicht Jutta aber misch mich mal trotzdem ein.
Erstens: Die Funktion divergiert nicht, sondern das Iterationsverfahren.
Zweitens: Es divergiert, wenn |f'(x0)| > 1 wobei x0 der Fixpunkt ist.Man kann sich das so klar machen:
Wenn du in der Nähe von x0 startest, d.h. x = x0 + h, |h| klein, dann gilt: f(x0 + h) ~ f(x0) + f'(x0)*h = f(x0) + h_neu. Wenn |f'(x0)| > 1, dann ist h_neu betragsmäßig größer als h. Logisch, nicht wahr? D.h. Durch die Iteration *entfernst* du dich vom Fixpunkt, kannst dich ihm also nicht weiter nähern.Thomas
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"Helmut" ( HSchnitzspan@gmx.de ) wrote
Das ist der Banachsche Fixpunktsatz: Das Fixpunkt-Verfahren (siehe die anderen Beiträge) konvergiert, wenn die Abbildung kontrahierend ist.
Und wenn
|f´(x)| < 1, dann ist f(.) kontrahierend.Helmut Schnitzspan